Conjuntos Numéricos - Parte II

Creditos: sxc.hu
Aqui estamos na segunda parte da matéria de conjuntos numéricos. No post anterior dei a definição de conjunto e elemento. Também vimos quando e como utilizar o ∈ (pertence) e o (não pertence). Falei também sobre intervalos, que podem ser definidos como fechados, abertos e semi-abertos. Nesse post desejo abordar sobre ⊂ (contido) e ⊄ (não contido) além disso vamos falar um pouco de união e intersecção.







Subconjunto


Em subconjuntos iremos estudar se um conjunto A por exemplo é subconjunto do conjunto B, para que isso possa ser verdade todos os elementos de A deve estar presentes em B. Vamos ver um exemplo para ilustrar melhor a situação:


A = { 7 , 8 , 9 }
B = { 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }


Logo:
A ⊂ B ou seja A está contido em B, pois os todos os elementos de A pertencem a B, lembrando que a concavidade do símbolo sempre estará apontando para o conjunto com maior número de elementos, logo A ⊂ B é equivalente a B ⊃ A.

Intervalos:
Com intervalos a regra de subconjuntos é aplicada da mesma forma. Exemplos:

[ 1 , 3 [ ⊂ [ 1 , 3 ]
[ 2 , 6 ] ⊄ [ 1 , 6 [

União


Dado os conjuntos:

A = { 1 , 2 , 3 }
B = { 3 , 4 , 5 }

A união dos dois será equivalente a:

A ∪ B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5}

É extremamente importante lembrar-se que em conjuntos não podemos repetir elementos.

Intervalos:

Fonte: Laifi

 Intersecção


A intersecção tem um propósito semelhante ao da união, porém o resultado intersecção de dois conjuntos será um conjunto com os elementos que existem em ambos os conjuntos. Exemplo:

Dado os conjuntos:

A = { 1 , 2 , 3 }
B = { 2 , 3 , 4 }

A intersecção dos dois conjuntos será:

A B = { 2 , 3 }

Observações:

Se A ⊂ B o resultado da união será B e o da intersecção será A.

Vejamos:

A = { 7 , 8 , 9 }
B = { 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }

A ∪ B = B = { 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }
 A B = A = { 7 , 8 , 9 }


Conjuntos Numéricos - Parte I

Crédito sxc.hu
Farei um pequeno resumo sobre conjunto numéricos,
irei começar pelos conjuntos com menos elementos.









Conjunto dos números naturais:
Podemos defini-lo como um número inteiro, ou seja, sem casa decimais, positivo o zero também não faz parte.
N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ...}

Conjunto dos números inteiros:
São todos os números sem casas decimais.
I = { ... , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ...}

Conjunto dos números reais:
São todos os números inteiros e os com casas decimais.
R = {... , -0.0000001 , ... , 0 , ... , -0.0000001}

Definindo conjuntos:
Todo conjunto é representado por uma letra maiúscula, seus elementos ficam dentro de colchetes e são separados por vírgula. Vejamos um exemplo:

1) O conjunto C tem como elementos as letras do nome Blog do Carlos, então: C = {b,g,c,a,r,l,o,s}
2) O conjunto X tem como elementos os números 5, 9, 3 e 1, então: X = {5,9,3,1}




Elemento: é um componente de um conjunto.
Conjunto: é uma coleção de elementos.

Para não ficar tão abstrato, vejamos o seguintes exemplos:

1) 3  ∈ I, o elemento 3 pertence  ao conjunto dos números inteiros.
2) -3 ∉ {0,1,2}, o elemento -3 não pertence ao conjunto dos números inteiros.

Nos exemplos, 3 e -3 são elementos, I e {0,1,2} são conjuntos.




Intervalos:

Fonte: UFRJ

São todos os números reais entre dois extremos. Por exemplo:
A = [1,3], podemos escreve-lo também da seguinte forma A = {x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 3 }



No intervalo A não estão representado só os números 1 e 3, mas sim infinitos números entre 1 e 3 inclusive o 1 e o 3, vamos ver agora, elementos que pertençam e que não pertençam ao intervalo A: 1 ∈ A; 1.0000000001 ∈ A; 3 ∈ A; 2.333333 ∈ A; 0.99999 ∉ A; 3.000001 ∉ A


Tipos de intervalos:

1 - Intervalo Fechado:

Quando os dois extremos pertencem ao conjunto. Representamos da seguinte forma:
A = [1 , 3] ou A = { x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 3 }


2 - Intervalo Aberto: 
Quando os dois extremos não pertencem ao conjunto. Exemplo:
A = ]1,3[  ou A = { x ∈ R / 1 < x < 3}
Então o A é um intervalo de 1 a 3, porém, 1 e 3 não fazem parte, ou seja, 1.0001 ∈ A mas 1 ∉ A o mesmo é válido para o 3,  2.9999 ∈ A mas 3 ∉ A.

3 - Intervalo Semi-aberto
Quando 1 dos dois extremos não pertencem ao conjunto. Vejamos os dois exemplos:

A = [1,3[ ou A = { x ∈ R / 1 ≤ x < 3}
B = ]1,3] ou B = { x ∈ R / 1 < x ≤ 3 }


Por enquanto é só, na parte dois falarei um pouco sobre teoria dos conjuntos.